النسبية الخاصة {من ويكي الكتب}
هناك كتاب بعنوان « Special Relativity » متوفر باللغة إنجليزية وهو ذو محتوى جيد. إذا كنت تعرف اللغة المستعملة، لا تتردد في الترجمة
محتويات 1 النظرية النسبية الخاصة 1.1 فهرس الفصل الأول
2 فيزياء ما قبل النسبية
3 المصادر
4 مزيد من المعلومات
النظرية النسبية الخاصة
فهرس الفصل الأول
1. فيزياء ما قبل النسبية
2. معادلات الكهرومغناطيسية
3. مبدأ النسبية الخاصة
4. تخطيطات الزمكان وتحويلات لورينتز
5. فترة الزمكان
6. زمكان مينكوسكي المخروط الملغي
7. نتائج مسلّمات آينشتاين توسّع وقت
انكماش طول
التناقض التوأمي
8. قانون تركيب سرعة
فيزياء ما قبل النسبية
الاطار الانتسابى (reference frame) : تتألف الظواهر الطبيعية من أحداث events تقع عند مكان معين وزمن معين , ولكى نقيس تلك الأحداث، ونصوغ القوانين التي تحكمها يلزمنا ساعة مضبوطة لمعرفة زمن وقوعها وهندسة فضاء تمكننا من تحديد أماكنها والمسافات بينها 0، تتغير خواص الفضاء الثلاثي الذي تقع فيه الأحداث في الطبيعة الكلاسيكية بهندسة إقليدس حيث تتحدد النقطة الهندسية بتقاطع ثلاث مستويات يمكن اختيارها للسهولة متعامدة في مستويين يتقاطعان في خط مستقيم 0 وفى النموذج الرياضي تمثل الحادثة بنقطة هندسية يتحدد موضعها بقياس أبعادها ( إحداثياتها coordinates ) عند ثلاث مستويات تسمى المستويات الأساسية , كما يطلق على خطوط تقاطع هذه المستويات المحاور الأساسية وتقاس الأطوال أو المسافات بين الأحداث بالنسبة لمجموعة المحاور الأساسية تبعا لقواعد الهندسة الاقليدية 0 تعرف مجموعة المحاور الأساسية بالإضافة إلى ساعة قياس الزمن بالإطار الانتسابي ويرمز له بالرمز s ,
حيث تكون الإحداثيات المكانية هي (x,y,z) والزمن t كما يطلق اسم الملاحظ أو المراقب observer على من يقوم بالملاحظة والقياس في هذا الإطار الانتسابي , ويرمز له بالرمز A 0 إنّ نقطة البداية لعملنا قوانين نيوتن للحركة. يمكن أن تذكر كالتالي
قانون نيوتن الأول :
• تتحرّك الجسيمات الحرة بالسرعة الثابتة. ( أي يبقى الجسم الساكن ساكنا ويبقى الجسم المتحرك في خط مستقيم متحركا بسرعة منتظمة ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حالته 0 ) فالجسم الساكن يبقى ساكنا فعندما تضع كتابا فوق منضده فانه سيظل في موضعه إلى أن تمتد إليه يد تغير من موضعه
لن نناقش الآن مسالة أن الأرض تتحرك وبالتالي فان المكان يتغير !؟ والجسم المتحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة يظل متحركا بهذه السرعة ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حالته تخيل مثلا راكب دراجة يدفعها إلى الأمام في خط مستقيم عن طريق دفعه للبدال إلى أن أوقف حركة البدال ماذا يحدث ؟ المفروض أن تظل حركة الدراجة على الطريق في خط مستقيم بسرعة منتظمة هي نفس السرعة الأخيرة تبعا لقانون نيوتن الأول
ولكن الملاحظ في الحياة أن هناك قوى احتكاك مع أرضية الطريق تجعل الدراجة تقلل من سرعتها إلى أن تتوقف وهذا ليس معناه أن قانون نيوتن الأول خاطئ ولكنه يعتبر أن مجموع هذه القوى الخارجية المؤثرة على الجسم هو صفر ∑F=0 والرمز ∑ معناه مجموع و F ترمز للقوة أي أن مجموع القوى = صفر وبالتالي إذا انعدمت القوى الأخرى المؤثرة مثل قوة الاحتكاك فان الجسم سيظل مستمرا في الحركة في خط مستقيم بنفس السرعة ولكن هل يستطيع الجسم نفسه تغيير حركته أي هل يستطيع الكتاب مثلا أن يترك الحجرة ويرحل ؟ بالطبع لا وهذه الخاصية كما وصفها نيوتن هي خاصية أصيلة في الجسم
وهي خاصية احتفاظ الجسم بحالته من السكون أو الحركة في خط مستقيم بسرعة ثابتة تسمى خاصية القصور الذاتي INERTIA القانون الثاني لنيوتن : • متجه القوه F نسبي إلى نسبة تغيير كمية الحركة وبمعنى آخر: . (F= d/dt(mv
أي أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوى المعدل الزمني للتغير في كمية حركة هذا الجسم ويكون اتجاه القوة وهي كمية متجهة نفس اتجاه كمية الحركة حيث m هي الكتلة و v هي سرعة الجسم في اتجاه الحركة
وتكون كمية الحركة هي حاصل ضرب الكتلة × السرعة أي أن : كمية الحركة = mv والرمز (d/dt(mv يعنى معدل التغير الكمية بين القوسين بالنسبة للزمن وهو هنا تفاضل حاصل ضرب كميتين بالنسبة للزمن وتفاضلها = الأول × تفاضل الثاني + الثاني × تفاضل الأول
أي : m × dv/dt + v × dm/dt
وفى حالة كتلة الجسم ثابتة لا تتغير فان وهو معدل تغير الكتلة بالنسبة للزمن = صفر لان الكتلة ثابتة لا تتغير أي أن القوة m × dv/dt = F ومعدل تغير السرعة بالنسبة للزمن dv/dt يسمى العجلة ويرمز له بالرمز a
فتصبح القوة F = m a
قانون نيوتن الثالث : • إلى كلّ فعل هناك ردّ فعل مساوي ومعاكس.
أي أن : لكل فعل رد فعل مساوي له في المقدار ومضاد له في الاتجاه وعلى خط عمل واحد أي انه إذا اثر جسم ما على آخر بقوة معينة فان الجسم الآخر يؤثر عليه بنفس القوة وفى عكس الاتجاه ولأنها قوة متبادلة بين الجسمين فإذا اعتبرنا القوة الأولى فعل فان الثانية رد فعل وللتوضيح أكثر فانه إذا تساوت القوتان فنه يحدث اتزان وإذا اختلفت القوتان فان هناك قوة محصلة وبالتالي عجلة 0
إذا كان لدينا أحداث تحكمها قوانين نيوتن ولكنها تقع داخل إطار يتحرك بالنسبة للراصد
بسرعة ثابتة ( تذكر مثال القطار الذي يتحرك بالنسبة لراصد ثابت يقف عند محطة القطار بسرعة ثابتة وهناك أحداث تقع داخل القطار فان القطار نفسه هو إطار قصوري ) هذه القوانين تفرض إطارات قصورية inertial لماذا ؟
بينما تلك المتسارعة تفرض إطارات غير قصورية. لماذا ؟
( وذلك عندما يغير القطار من سرعته فجأة فانه يصبح إطار غير قصوري بالنسبة للراصد الذي يقف عند محطة القطار )
نفرض الآن إطار S وبمعنى آخر: . مجموعة الإحداثيات المكانية (x،y،z) وإحداثي وقت t ، وإطار آخر /S بالإحداثيات /X/ , Y/ , Z الذي يتحرّك في اتجاه x بالسرعة الموحّدة v نسبة إلى الإطار S .
يقترح الحسّ العام بأنّ الاثنان من مجموعات الإحداثيات ذو علاقة من قبل
X/ = X-VT Y/ = Y
Z/ = Z T/ = T
هذه تحويلات جاليليو
يمكنك الاطلاع أيضا على "
المقدمة: 4 صفحات
http://www.olom.info/members/any/introduction.pdf
المحاضرة الأولى: 8صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture1.pdf
والمحاضرة الثانية : 9 صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture2.pdf
والمحاضرة الثالثة: 10 صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture3.pdf
والمحاضرة الرابعة: 4 صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture4.pdf
الباب الثاني :النظريه النسبيه الخاصه
المحاضرة الأولى من الباب الثاني :
===============
Special Relativity/Mathematical Appendix
< Special Relativity
Special Relativity
Mathematics of the Lorentz Transformation Equations
Consider two observers O
and O ′ 
, moving at velocity v 
relative to each other who synchronise their clocks so that t = t ′ = 0 
as they pass each other. They both observe the same event as a flash of light. How will the coordinates recorded by the observers of the event that produced the light be interrelated?
The relationship between the coordinates can be derived using linear algebra on the basis of the postulates of relativity and an extra homogeneity and isotropy assumption.
The homogeneity and isotropy assumption: space is uniform and homogeneous in all directions. If this were not the case then when comparing lengths between coordinate systems the lengths would depend upon the position of the measurement. For instance, if x ′ = a x 2
the distance between two points would depend upon position.
The linear equations relating coordinates in the primed and unprimed frames are: x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 z + a 14 t
y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 z + a 24 t 
z ′ = a 31 x + a 32 y + a 33 z + a 34 t 
t ′ = a 41 x + a 42 y + a 43 z + a 44 t 
There is no relative motion in the y
or z 
directions so, according to the 'relativity' postulate: z ′ = z 
y ′ = y 
Hence: a 22 = 1
and a 21 = a 23 = a 24 = 0 
a 33 = 1 
and a 31 = a 32 = a 34 = 0 
So the following equations remain to be solved: x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 z + a 14 t t ′ = a 41 x + a 42 y + a 43 z + a 44 t
If space is isotropic (the same in all directions) then the motion of clocks should be independent of the y and z axes (otherwise clocks placed symmetrically around the x-axis would appear to disagree). Hence: a 42 = a 43 = 0
so: t ′ = a 41 x + a 44 t
Events satisfying x ′ = 0
must also satisfy x = v t 
. So: 0 = a 11 v t + a 12 y + a 13 z + a 14 t 
and − a 11 v t = a 12 y + a 13 z + a 14 t
Given that the equations are linear then a 12 y + a 13 z = 0
and: − a 11 v t = a 14 t 
and − a 11 v = a 14
Therefore the correct transformation equation for x ′
is: x ′ = a 11 ( x − v t ) 
The analysis to date gives the following equations: x ′ = a 11 ( x − v t ) y ′ = y z ′ = z t ′ = a 41 x + a 44 t
Assuming that the speed of light is constant, the coordinates of a flash of light that expands as a sphere will satisfy the following equations in each coordinate system: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2
x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = c 2 t ′ 2 
Substituting the coordinate transformation equations into the second equation gives: a 11 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 = c 2 ( a 41 x + a 44 t ) 2
rearranging: ( a 11 2 − c 2 a 41 2 ) x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( v a 11 2 + c 2 a 41 a 44 ) x t = ( c 2 a 44 2 − v 2 a 11 2 ) t 2
We demand that this is equivalent with x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2
So we get: c 2 a 44 2 − v 2 a 11 2 = c 2
a 11 2 − c 2 a 41 2 = 1 
v a 11 2 + c 2 a 41 a 44 = 0 
Solving these 3 simultaneous equations gives: a 44 = 1 ( 1 − v 2 / c 2 )
a 11 = 1 ( 1 − v 2 / c 2 ) 
a 41 = − v / c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) 
Substituting these values into: x ′ = a 11 ( x − v t ) y ′ = y z ′ = z t ′ = a 41 x + a 44 t
gives: x ′ = x − v t ( 1 − v 2 / c 2 )
y ′ = y z ′ = z t ′ = t − ( v / c 2 ) x ( 1 − v 2 / c 2 ) 
The inverse transformation is: x = x ′ + v t ′ ( 1 − v 2 / c 2 )
y = y ′ 
z = z ′ 
t = t ′ + ( v / c 2 ) x ′ ( 1 − v 2 / c 2 ) 
Einstein's original approach
How would two observers measure the position and timing of an event by using light rays if the speed of light were constant? The modern analysis of this problem, exposing the assumptions involved, is given above but Einstein's original reasoning (Einstein 1905,1920) is as follows.
Light is transmitted along the positive x axis according to the equation x = c t
where c 
is the velocity of light. This can be rewritten as: x − c t = 0 
Another observer, moving relatively to the first may find different values for x and t but the same equation will apply: x ′ − c t ′ = 0
A simple relationship between these formulae, which apply to the same event is: ( x ′ − c t ′ ) = λ ( x − c t )
Light is transmitted along the negative x axis according to the equation x = − c t
where c is the velocity of light. This can be rewritten as: x + c t = 0 
x ′ + c t ′ = 0 
And: ( x ′ + c t ′ ) = μ ( x + c t )
Adding the equations and substituting a = λ + μ 2
and b = λ − μ 2 
: (1) x ′ = a x − b c t 
(2) c t ′ = a c t − b x 
The origin of one set of coordinates can be set so that x ′ = 0
hence: x = b c a t 
If v
is the velocity of one observer relative to the other then v = x t 
and: (3) v = b c a 
At t = 0
: (4) x ′ = a x 
Therefore two points separated by unit distance in the primed frame of reference ie: when x ′ = 1
have the following separation in the unprimed frame: (5) Δ x = 1 a 
Now t
can be eliminated from equations (1) and (2) and combined with v = b c a and (4) to give in the case where x = 1 
and t ′ = 0 
: (6) x ′ = a ( 1 − v 2 c 2 ) x 
And, if Δ x = 1
: (7) Δ x ′ = a ( 1 − v 2 c 2 ) 
Now if the two moving systems are identical and the situation is symmetrical a measurement in the unprimed system of a division showing one metre on a measuring rod in the primed system is going to be identical to a measurement in the primed system of a division showing one metre on a measuring rod in the unprimed system. Thus (5) and (7) can be combined so that: 1 a = a ( 1 − v 2 c 2 )
So: a 2 = 1 ( 1 − v 2 c 2 )
Inserting this value for a
into equations (1) and (2) and solving for b 
gives:
x ′ = x − v t 1 − v 2 c 2
t ′ = t − ( v / c 2 ) x 1 − v 2 c 2
These are the Lorentz Transformation Equations for events on the x axis.
Einstein, A. (1920). Relativity. The Special and General Theory. Methuen & Co Ltd 1920. Written December, 1916. Robert W. Lawson (Authorised translation). http://www.bartleby.com/173/
Category: Book:Special Relativity
هناك كتاب بعنوان « Special Relativity » متوفر باللغة إنجليزية وهو ذو محتوى جيد. إذا كنت تعرف اللغة المستعملة، لا تتردد في الترجمة محتويات 1 النظرية النسبية الخاصة 1.1 فهرس الفصل الأول
2 فيزياء ما قبل النسبية
3 المصادر
4 مزيد من المعلومات
النظرية النسبية الخاصة
فهرس الفصل الأول
1. فيزياء ما قبل النسبية
2. معادلات الكهرومغناطيسية
3. مبدأ النسبية الخاصة
4. تخطيطات الزمكان وتحويلات لورينتز
5. فترة الزمكان
6. زمكان مينكوسكي المخروط الملغي
7. نتائج مسلّمات آينشتاين توسّع وقت
انكماش طول
التناقض التوأمي
8. قانون تركيب سرعة
فيزياء ما قبل النسبية
الاطار الانتسابى (reference frame) : تتألف الظواهر الطبيعية من أحداث events تقع عند مكان معين وزمن معين , ولكى نقيس تلك الأحداث، ونصوغ القوانين التي تحكمها يلزمنا ساعة مضبوطة لمعرفة زمن وقوعها وهندسة فضاء تمكننا من تحديد أماكنها والمسافات بينها 0، تتغير خواص الفضاء الثلاثي الذي تقع فيه الأحداث في الطبيعة الكلاسيكية بهندسة إقليدس حيث تتحدد النقطة الهندسية بتقاطع ثلاث مستويات يمكن اختيارها للسهولة متعامدة في مستويين يتقاطعان في خط مستقيم 0 وفى النموذج الرياضي تمثل الحادثة بنقطة هندسية يتحدد موضعها بقياس أبعادها ( إحداثياتها coordinates ) عند ثلاث مستويات تسمى المستويات الأساسية , كما يطلق على خطوط تقاطع هذه المستويات المحاور الأساسية وتقاس الأطوال أو المسافات بين الأحداث بالنسبة لمجموعة المحاور الأساسية تبعا لقواعد الهندسة الاقليدية 0 تعرف مجموعة المحاور الأساسية بالإضافة إلى ساعة قياس الزمن بالإطار الانتسابي ويرمز له بالرمز s ,
حيث تكون الإحداثيات المكانية هي (x,y,z) والزمن t كما يطلق اسم الملاحظ أو المراقب observer على من يقوم بالملاحظة والقياس في هذا الإطار الانتسابي , ويرمز له بالرمز A 0 إنّ نقطة البداية لعملنا قوانين نيوتن للحركة. يمكن أن تذكر كالتالي
قانون نيوتن الأول :
• تتحرّك الجسيمات الحرة بالسرعة الثابتة. ( أي يبقى الجسم الساكن ساكنا ويبقى الجسم المتحرك في خط مستقيم متحركا بسرعة منتظمة ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حالته 0 ) فالجسم الساكن يبقى ساكنا فعندما تضع كتابا فوق منضده فانه سيظل في موضعه إلى أن تمتد إليه يد تغير من موضعه
لن نناقش الآن مسالة أن الأرض تتحرك وبالتالي فان المكان يتغير !؟ والجسم المتحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة يظل متحركا بهذه السرعة ما لم تؤثر عليه قوة تغير من حالته تخيل مثلا راكب دراجة يدفعها إلى الأمام في خط مستقيم عن طريق دفعه للبدال إلى أن أوقف حركة البدال ماذا يحدث ؟ المفروض أن تظل حركة الدراجة على الطريق في خط مستقيم بسرعة منتظمة هي نفس السرعة الأخيرة تبعا لقانون نيوتن الأول
ولكن الملاحظ في الحياة أن هناك قوى احتكاك مع أرضية الطريق تجعل الدراجة تقلل من سرعتها إلى أن تتوقف وهذا ليس معناه أن قانون نيوتن الأول خاطئ ولكنه يعتبر أن مجموع هذه القوى الخارجية المؤثرة على الجسم هو صفر ∑F=0 والرمز ∑ معناه مجموع و F ترمز للقوة أي أن مجموع القوى = صفر وبالتالي إذا انعدمت القوى الأخرى المؤثرة مثل قوة الاحتكاك فان الجسم سيظل مستمرا في الحركة في خط مستقيم بنفس السرعة ولكن هل يستطيع الجسم نفسه تغيير حركته أي هل يستطيع الكتاب مثلا أن يترك الحجرة ويرحل ؟ بالطبع لا وهذه الخاصية كما وصفها نيوتن هي خاصية أصيلة في الجسم
وهي خاصية احتفاظ الجسم بحالته من السكون أو الحركة في خط مستقيم بسرعة ثابتة تسمى خاصية القصور الذاتي INERTIA القانون الثاني لنيوتن : • متجه القوه F نسبي إلى نسبة تغيير كمية الحركة وبمعنى آخر: . (F= d/dt(mv
أي أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم ما تساوى المعدل الزمني للتغير في كمية حركة هذا الجسم ويكون اتجاه القوة وهي كمية متجهة نفس اتجاه كمية الحركة حيث m هي الكتلة و v هي سرعة الجسم في اتجاه الحركة
وتكون كمية الحركة هي حاصل ضرب الكتلة × السرعة أي أن : كمية الحركة = mv والرمز (d/dt(mv يعنى معدل التغير الكمية بين القوسين بالنسبة للزمن وهو هنا تفاضل حاصل ضرب كميتين بالنسبة للزمن وتفاضلها = الأول × تفاضل الثاني + الثاني × تفاضل الأول
أي : m × dv/dt + v × dm/dt
وفى حالة كتلة الجسم ثابتة لا تتغير فان وهو معدل تغير الكتلة بالنسبة للزمن = صفر لان الكتلة ثابتة لا تتغير أي أن القوة m × dv/dt = F ومعدل تغير السرعة بالنسبة للزمن dv/dt يسمى العجلة ويرمز له بالرمز a
فتصبح القوة F = m a
قانون نيوتن الثالث : • إلى كلّ فعل هناك ردّ فعل مساوي ومعاكس.
أي أن : لكل فعل رد فعل مساوي له في المقدار ومضاد له في الاتجاه وعلى خط عمل واحد أي انه إذا اثر جسم ما على آخر بقوة معينة فان الجسم الآخر يؤثر عليه بنفس القوة وفى عكس الاتجاه ولأنها قوة متبادلة بين الجسمين فإذا اعتبرنا القوة الأولى فعل فان الثانية رد فعل وللتوضيح أكثر فانه إذا تساوت القوتان فنه يحدث اتزان وإذا اختلفت القوتان فان هناك قوة محصلة وبالتالي عجلة 0
إذا كان لدينا أحداث تحكمها قوانين نيوتن ولكنها تقع داخل إطار يتحرك بالنسبة للراصد
بسرعة ثابتة ( تذكر مثال القطار الذي يتحرك بالنسبة لراصد ثابت يقف عند محطة القطار بسرعة ثابتة وهناك أحداث تقع داخل القطار فان القطار نفسه هو إطار قصوري ) هذه القوانين تفرض إطارات قصورية inertial لماذا ؟
بينما تلك المتسارعة تفرض إطارات غير قصورية. لماذا ؟
( وذلك عندما يغير القطار من سرعته فجأة فانه يصبح إطار غير قصوري بالنسبة للراصد الذي يقف عند محطة القطار )
نفرض الآن إطار S وبمعنى آخر: . مجموعة الإحداثيات المكانية (x،y،z) وإحداثي وقت t ، وإطار آخر /S بالإحداثيات /X/ , Y/ , Z الذي يتحرّك في اتجاه x بالسرعة الموحّدة v نسبة إلى الإطار S .
يقترح الحسّ العام بأنّ الاثنان من مجموعات الإحداثيات ذو علاقة من قبل
X/ = X-VT Y/ = Y
Z/ = Z T/ = T
هذه تحويلات جاليليو
يمكنك الاطلاع أيضا على "
المقدمة: 4 صفحات
http://www.olom.info/members/any/introduction.pdf
المحاضرة الأولى: 8صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture1.pdf
والمحاضرة الثانية : 9 صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture2.pdf
والمحاضرة الثالثة: 10 صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture3.pdf
والمحاضرة الرابعة: 4 صفحات
http://www.olom.info/members/any/lecture4.pdf
الباب الثاني :النظريه النسبيه الخاصه
المحاضرة الأولى من الباب الثاني :
===============
Special Relativity/Mathematical Appendix
< Special Relativity
Special Relativity
Mathematics of the Lorentz Transformation Equations
Consider two observers O
and O ′ , moving at velocity v relative to each other who synchronise their clocks so that t = t ′ = 0 as they pass each other. They both observe the same event as a flash of light. How will the coordinates recorded by the observers of the event that produced the light be interrelated? The relationship between the coordinates can be derived using linear algebra on the basis of the postulates of relativity and an extra homogeneity and isotropy assumption.
The homogeneity and isotropy assumption: space is uniform and homogeneous in all directions. If this were not the case then when comparing lengths between coordinate systems the lengths would depend upon the position of the measurement. For instance, if x ′ = a x 2
the distance between two points would depend upon position. The linear equations relating coordinates in the primed and unprimed frames are: x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 z + a 14 t
y ′ = a 21 x + a 22 y + a 23 z + a 24 t z ′ = a 31 x + a 32 y + a 33 z + a 34 t t ′ = a 41 x + a 42 y + a 43 z + a 44 t There is no relative motion in the y
or z directions so, according to the 'relativity' postulate: z ′ = z y ′ = y Hence: a 22 = 1
and a 21 = a 23 = a 24 = 0 a 33 = 1 and a 31 = a 32 = a 34 = 0 So the following equations remain to be solved: x ′ = a 11 x + a 12 y + a 13 z + a 14 t
t ′ = a 41 x + a 42 y + a 43 z + a 44 t If space is isotropic (the same in all directions) then the motion of clocks should be independent of the y and z axes (otherwise clocks placed symmetrically around the x-axis would appear to disagree). Hence: a 42 = a 43 = 0
so: t ′ = a 41 x + a 44 t
Events satisfying x ′ = 0
must also satisfy x = v t . So: 0 = a 11 v t + a 12 y + a 13 z + a 14 t and − a 11 v t = a 12 y + a 13 z + a 14 t
Given that the equations are linear then a 12 y + a 13 z = 0
and: − a 11 v t = a 14 t and − a 11 v = a 14
Therefore the correct transformation equation for x ′
is: x ′ = a 11 ( x − v t ) The analysis to date gives the following equations: x ′ = a 11 ( x − v t )
y ′ = y z ′ = z t ′ = a 41 x + a 44 t Assuming that the speed of light is constant, the coordinates of a flash of light that expands as a sphere will satisfy the following equations in each coordinate system: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2
x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = c 2 t ′ 2 Substituting the coordinate transformation equations into the second equation gives: a 11 2 ( x − v t ) 2 + y 2 + z 2 = c 2 ( a 41 x + a 44 t ) 2
rearranging: ( a 11 2 − c 2 a 41 2 ) x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( v a 11 2 + c 2 a 41 a 44 ) x t = ( c 2 a 44 2 − v 2 a 11 2 ) t 2
We demand that this is equivalent with x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2
So we get: c 2 a 44 2 − v 2 a 11 2 = c 2
a 11 2 − c 2 a 41 2 = 1 v a 11 2 + c 2 a 41 a 44 = 0 Solving these 3 simultaneous equations gives: a 44 = 1 ( 1 − v 2 / c 2 )
a 11 = 1 ( 1 − v 2 / c 2 ) a 41 = − v / c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) Substituting these values into: x ′ = a 11 ( x − v t )
y ′ = y z ′ = z t ′ = a 41 x + a 44 t gives: x ′ = x − v t ( 1 − v 2 / c 2 )
y ′ = y z ′ = z t ′ = t − ( v / c 2 ) x ( 1 − v 2 / c 2 ) The inverse transformation is: x = x ′ + v t ′ ( 1 − v 2 / c 2 )
y = y ′ z = z ′ t = t ′ + ( v / c 2 ) x ′ ( 1 − v 2 / c 2 ) Einstein's original approach
How would two observers measure the position and timing of an event by using light rays if the speed of light were constant? The modern analysis of this problem, exposing the assumptions involved, is given above but Einstein's original reasoning (Einstein 1905,1920) is as follows.
Light is transmitted along the positive x axis according to the equation x = c t
where c is the velocity of light. This can be rewritten as: x − c t = 0 Another observer, moving relatively to the first may find different values for x and t but the same equation will apply: x ′ − c t ′ = 0
A simple relationship between these formulae, which apply to the same event is: ( x ′ − c t ′ ) = λ ( x − c t )
Light is transmitted along the negative x axis according to the equation x = − c t
where c is the velocity of light. This can be rewritten as: x + c t = 0 x ′ + c t ′ = 0 And: ( x ′ + c t ′ ) = μ ( x + c t )
Adding the equations and substituting a = λ + μ 2
and b = λ − μ 2 : (1) x ′ = a x − b c t (2) c t ′ = a c t − b x The origin of one set of coordinates can be set so that x ′ = 0
hence: x = b c a t If v
is the velocity of one observer relative to the other then v = x t and: (3) v = b c a At t = 0
: (4) x ′ = a x Therefore two points separated by unit distance in the primed frame of reference ie: when x ′ = 1
have the following separation in the unprimed frame: (5) Δ x = 1 a Now t
can be eliminated from equations (1) and (2) and combined with v = b c a and (4) to give in the case where x = 1 and t ′ = 0 : (6) x ′ = a ( 1 − v 2 c 2 ) x And, if Δ x = 1
: (7) Δ x ′ = a ( 1 − v 2 c 2 ) Now if the two moving systems are identical and the situation is symmetrical a measurement in the unprimed system of a division showing one metre on a measuring rod in the primed system is going to be identical to a measurement in the primed system of a division showing one metre on a measuring rod in the unprimed system. Thus (5) and (7) can be combined so that: 1 a = a ( 1 − v 2 c 2 )
So: a 2 = 1 ( 1 − v 2 c 2 )
Inserting this value for a
into equations (1) and (2) and solving for b gives: x ′ = x − v t 1 − v 2 c 2
t ′ = t − ( v / c 2 ) x 1 − v 2 c 2
These are the Lorentz Transformation Equations for events on the x axis.
Einstein, A. (1920). Relativity. The Special and General Theory. Methuen & Co Ltd 1920. Written December, 1916. Robert W. Lawson (Authorised translation). http://www.bartleby.com/173/
Category: Book:Special Relativity
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق